Problema Monty Hall (sau cum sa iei banii showurilor TV)

[shpid3r]

Am vazut recent filmul 21 (2008) si am dat de o problema ce mi-a intors mintea pe dos, asa ca am cautat pe internet pareri si sunt si mai contrariat:

La un show TV, exista 3 usi. In spatele uneia din ele se afla o masina (pe care jucatorul vrea s-o castige). In spatele celorlalte 2 se afla cate o capra. Sa zicem usile A B si C. Jucatorul alege A. Gazda emisiunii, care cunoaste in spatele carei usi se afla masina, se duce la usa C si o deschide, aratand o capra. Acum gazda emisiunii il invita pe jucator sa aleaga din nou.
Se poate demonstra ca pastrandu-si alegerea A, are sanse de castig de 1/3, iar schimbandu-si alegerea (in B) are sanse de castig de 2/3. Asta desi majoritatea oamenilor ce au luat legatura cu probabilitatea, spun ca sansa de castig este de 1/2 (alegerea unei usi dintre A si B).

Exista mai multe moduri de a explica aceasta, sa le iau de la mai putin elocvente la total elocvente:

1) Situatia este asemanatoare cu datul cu banul. Desi sansele sa obtii cap sunt 50% la fiecare aruncare, sansele sa obtii cap daca la aruncarea anterioara ai obtinut tot cap nu mai sunt 50% (asta arata ca luand in calcul momente din trecut schimba rezultatul).

2) Am un set de carti (52). Cautam asul de pica. Iti dau ocazia sa tragi o carte din cele 52. O iei si o pui cu fata in jos, pe masa. Eu le iau pe restul 51 si ma uit pe rand la ele. Din toate, pastrez doar una. Si te intreb pe care s-o intoarcem, ca sa vedem daca e asul cautat. Ai vrea sa schimbi cartea initial aleasa cu cea aleasa de mine ?
Asta arata faptul ca eu, cunoscand cartile, faptul ca am ales una anume din cele 51 ... am transferat sansele tuturor celor 51 de a fi castigatoare, acestei carti. Adica sansele ca acea carte din mana mea sa fie castigatoare sunt de 51/52.
Probabil ca aici deja sustii ca nu am dreptate.
Exista calcul probabilistic (analiza Bayesiana) ce demonstreaza acest "transfer" de probabilitate dat fiind faptul ca eu cunosc adevarul.

3) Aici suntem mai aproape de problema.
Avem 3 scenarii:
a) capra A, capra B, masina. Aleg usa 1, gazda imi arata capra B, daca schimb castig.
b) capra A, masina, capra B. Aleg usa 1, gazda imi arata capra B, daca schimb castig.
c) masina, capra A, capra B. Aleg usa 1, gazda imi arata capra A SAU capra B, daca schimb pierd.
Puteti argumenta faptul ca acest caz c, se poate imparti in 2, dar nu este asa (cele 2 subcazuri sunt similare)
Rezulta ca in 2/3 ocazii, daca schimb, castig.

Din cauza ca inca mai crezi ca acel caz se putea imparti in 2, nu esti de acord.
Continuam cu demonstratia:
Am 3 usi. Vreau sa castig masina, dar imi propun sa aleg o capra.
Daca aleg o capra, gazda trebuie sa-mi arate cealalta capra. Daca imi modific alegerea, castig. Daca o pastrez, pierd. Aceasta concluzie este independenta de ce capra aleg, si poate fi rezumata ca alegand o capra si schimband, castig. Asadar, sansa sa castig este egala cu sansa de a alege o capra. Sansa sa aleg o capra este 2/3 (2 capre din 3 usi).

4) Imbatabil este experimentul. Jucam acest joc de 1000 de ori, numaram de cate ori castigam daca schimbam alegerea. Rezultatul va fi 666 (sau pe acolo).
Dovada: http://demonstrations.wolfram.com/MontyHallParadox/

Pentru faptul ca este atat de departe de ceea ce te-ai astepta, problema Monty Hall este considerata un paradox. Nu va simtiti aiurea ca nu vi se pare evident inainte de aceasta demonstratie, premianti Nobel sustin probabilitatea de 50%.

Ideea e ca dintr-un studiu, doar 13% din oameni au ales sa schimbe solutia. Asa ca daca ajungeti la un astfel de show, schimbati (intuitiv ar fi sa va pastrati alegerea, cum arata cei 13%).
Problema e documentata in incredibil de multe lucrari, incepand din `90 cand a fost chiar un caz la un show american (gazda se numea chiar Monty Hall).
http://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem

Kind of a mind bender, huh ?

[rayman]

M-am certat cu colegii cu problema asta... pana nu le-am facut un mic programel demonstrativ nu m-au crezut ca iti cresc sanele daca te razgandesti )